勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题（勾股定理的应用）

大家好，我是小生，我来为大家解答以上问题。勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题，勾股定理的应用很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

勾股定理可以解决直角三角形的许多问题，在现实生活和数学中有着广泛的应用．

　　（1）理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决航海中距离问题；

　　（2）判定实际问题中两线段是否垂直的问题。以已知线段为边构造三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题；

　　（3）解决折叠问题。正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程的思想，用代数方法解题；

　　（4）圆柱侧面上两点问题。转化为将侧面展开成平面长方形，构造直角三角形，利用勾股定理解决；

　　（5）其它涉及直角三角形的问题。

二、重、难点知识

应用勾股定理及其逆定理对具体问题具体分析，灵活运用定理是重点也是难点。

三、典型例题讲解

例1、如图所示，一旗杆在离地面5 m处断裂，旗杆顶部落在离底部12 m处，问旗杆折断前有多高?

分析：

　　旗杆垂直地面，所以△ABC是直角三角形，根据勾股定理，可得AC2＋BC2=AB2．

解：

　　由题意可知∠C=90°，∴AC2＋BC2=AB2．

　　又∵BC=5m，AC=12 m，

　　∴AB2=AC2＋BC2=122＋52=144＋25=169，

　　∴AB=13(m)．

　　∴旗杆折断前的高度为BC＋AB=5＋13=18(m)．

例2、有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需多少米?

分析：

　　环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB展开，得到一个长方形，由两点之间，线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理解题．

解：

　　如图所示，将圆柱的侧面沿AB展开，得到长方形AA′B′B，

　　则AB=A′B′=5米，

　　AA′=BB′=12米，∠A′=90°．

　　因此沿AB′建梯子，梯子最短．

　　在Rt△AA′B′中，

　　AB′2=A′A2＋A′B′2=122＋52=169．

　　∴AB′=13(米)．

答：梯子最短需13米．

例3、在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高?

分析：

　　如图所示，一只猴子经过的路径B→C→A，共走了10＋20=30(m)，另一只猴子经过的路径是B→D→A，也走了30 m，且树垂直于地面，于是此问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解决．

解：如图所示，设BD=x，

　　则CD=BD＋BC=x＋10．

　　∴BC＋CA=BD＋DA=30，∴AD=30－BD=30－x．

　　在Rt△ADC中，AD2=CD2＋AC2，

　　∴(30－x)2=(x＋10)2＋202，解得x=5．

　　∴CD=x＋10=15(m)．

答：这棵树高15 m．

小结：此题的关键是正确地画出图形，运用勾股定理及方程的思想解决问题．

例4、如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受影响的时间有多长?

分析：

　　学校A到公路MN的距离AB=PA=80(米)，因为80<100，所以学校会受到噪声的影响．要求受影响的时间，就需求出受影响时拖拉机行驶的路程，因此，在MN上找到两点C，D，使AC=AD=100米，那么CD间的距离就是受影响时拖拉机行驶的路程，由勾股定理及等腰三角形的性质，可求出C，D之间的距离．

解：

　　过A点作AB⊥MN，垂足为B，

　　∵∠QPN=30°，∴AB=AP=×160=80(米)．

　　∵80<100，∴学校会受到噪声的影响．

　　在MN上找两点C，D，使AC=AD=100(米)．

　　这说明拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到C处时，学校开始受到噪声的影响，当行驶到D处时，学校开始脱离噪声的影响．

　　由勾股定理，得BC2=AC2－AB2=1002－802=3600(米2)，∴BC=60米．

　　∴CD=2BC=2×60=120米．

　　∴学校受到噪声影响的时间为120÷1000÷18=(时)=24(秒)．

小结：

　　解几何类应用题的关键，是将实际问题转化为几何问题，利用数形结合的思想方法进行求解．

例5、由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方方向300km的B处，以km/h的速度向东偏南30°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴严重影响的区域，问：A市是否受到这次沙尘暴的影响？若不受到，说明理由；若受到，求出A市受沙尘暴影响的时间．

分析：

　　画出图形，判断A市到直线BF的距离是否小于200km，如果小于200km小会受到沙尘暴严重影响．

解：

　　依题意画出图形（如图），则沙尘暴运动的路线是从B到C．作AD⊥BC于D．

　　在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=300km，

　　则AD=AB=150km．

　　即沙尘暴在运动过程中到A点最近距离为150km，而150km<200km，故A市会受到沙尘暴的影响．

　　设沙尘暴距A点200km，刚好处在BC上E、F两点．

　　Rt△ADE中，AE=200km，AD=150km，

　　∴．

　　∴EF=2DE=km．

　　故A市受沙尘暴影响的时间为．

点评：

　　对于实际问题关键是根据题意，画出几何图形，建立几何模型．再构造直角三角形，运用勾股定理解决

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。

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